Question

(本題12分)
如圖，直線與軸、軸分別交于A、B兩點，動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點O運動． 動直線EF從軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動（即EF∥軸），并且分別與軸、線段AB交于E、F點．連結FP，設動點P與動直線EF同時出發，運動時間為t秒．

（1）當t＝1秒時，求梯形OPFE的面積；
（2）t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（3）設t的值分別取t₁、t₂時(t₁≠t₂)，所對應的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷．

Answer 1

（1）梯形OPFE的面積為18；（2）當t="5" (在0<t<范圍內)時，S_最大值=50.
（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形.
∴FD=OE=t，AF=FD=t. 又AP=3t.
當t=t₁時，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；當t=t₂時，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；
∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.

試題分析：解：設梯形OPFE的面積為S.
(1) 由直線與軸、軸分別交于A、B兩點
∴A(20，0)，B(0，20)
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°..
當t=1時，OE=1，AP=3，∴OP=17，EF=BE=19.
∴S=(OP+EF)·OE=18.
(2) OE=t，AP=3t，∴OP=20-3t，EF=BE=20-t.
∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.
∴當t="5" (在0<t<范圍內)時，S_最大值="50."

D

(3) 作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形.

∴FD=OE=t，AF=FD=t. 又AP=3t.
當t=t₁時，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；當t=t₂時，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；
∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.
點評：難題較高。本題考查學生對梯形面積公式的計算，相似三角形判定及動點和動直線作用下圖形變化的理解，找出相對應的變量，結合上下題之間能使用的關系式進行計算。要能夠在眾多條件中準確找出對應所需的信息。