Question

【題目】已知AB是圓O的切線，圓的半徑為2， ，延長BO到C使得BC=6，BC與圓的另一個交點為E．

（Ⅰ）證明：AC是圓O的切線；
（Ⅱ）設AC與圓O的切點為F，求證：EF∥AO．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵ ，

∴ ，

點B到直線AC的距離為 ，

又 ，∴點O到直線AC的距離為點B到直線AC距離的 ，

即 ，即點O到直線AC的距離等于圓的半徑，

∴AC是圓O的切線．…

（Ⅱ）如圖， ，∴∠C=30°，

在△COF中，∠CFO=90°，∴∠COF=60°，

∴△OEF是等邊三角形，∴∠OEF=60°．∠BOF=120°，

又△ABO≌△AFO，∴ ，

即∠AOB=∠OEF，∴EF∥AO．…

【解析】（1）根據勾股定理求出AC的值，再求出點B到直線AC的距離，根據比例關系可得到點O到直線AC的距離為點B到直線AC距離的,由此能證明 AC是圓O的切線，（2）根據正弦值可得∠C=30°，即∠COF=60°，不難推出△OEF是等邊三角形，進而得到∠OEF=60°．∠BOF=120°，根據全等可得到∠ A O B = ∠ B O D = 60 °，即∠AOB=∠OEF，則EF∥AO．