Question

【題目】如圖1所示的無限旋轉內接正方形金屬絲網絡由一種粗細一致、材料相同的金屬絲構成，其中每一個內接正方形的頂點都在外側正方形四邊中點上．已知與最外側正方形邊長相同的同種金屬絲的電阻為，求網絡中

(1)A、C兩端間等效電阻；

(2)E、G兩端間等效電阻．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)先考察B、D連線上的節點．由于這些節點都處于從A到C途徑的中點上，在A、C兩端接上電源時，這些節點必然處在一等勢線上．因此可將這些節點“拆開”，將原網絡等效成如圖2所示網絡．

接著可將網絡沿A、C連線對折疊合，使原來左、右對稱的金屬絲、節點相互重合，從而又等效成如圖3所示網絡．

注意到圖3中A、C間網絡與J、I間網絡在形式上的相似性，而圖3且后者恰好是前者在線度上縮小的結構，因此有

．

將折疊后與AE同長的雙金屬絲電阻記為，對應地與EH同長的雙金屬絲電阻記為，不難算得到

，．

再將如圖3所示網絡“量化”成如圖4所示網絡，其中虛線框內的上、下兩端間電阻為

于是有

解之，得．

(2)能否采用1．中所取的遞歸方法來求解呢？由于此時不存在結構相似的內層網絡，故不能采用這一方法．解決的方法當然還是有的，這就是利用1．的結果進行簡化．

據對稱性，將原網絡中AD邊的中點、BC邊的中點處節點“拆開”，等效成如圖5所示網絡．此網絡中通過E、G兩端與外正方形連接的內無限小網絡與原網絡結構相同，只是線度縮短為原線度的倍，小網絡E、G之間的等效電阻便為原網絡A、C間等效電阻的倍．據此，可將圖5網絡“量化”成圖6所示的網絡，有

將1．中算得的代入后，可得