Question

【題目】已知函數f（x）為二次函數，滿足f（0）=1，且f（x+1）﹣f（x）=2x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若方程f（2x）=2x+a在x∈（﹣∞，2]上有兩個不同的解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，

∴f（x）=ax2+bx+1，

∴f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+（2a+b）x+a+b+1，

∴f（x+1）﹣f（x）=ax2+（2a+b）x+a+b+1﹣ax2﹣bx﹣1

=2ax+a+b，

∵f（x+1）﹣f（x）=2x，

∴2ax+a+b=2x，

∴2a=2且a+b=0，

∴a=1，b=﹣1，

∴f（x）=x2﹣x+1

（2）解：若方程f（2x）=2x+a在x∈（﹣∞，2]上有兩個不同的解，

即a=（2x﹣1）2在x∈（﹣∞，2]上有兩個不同的解，

令t=2x，則0＜t≤4，

令g（t）=（t﹣1）2，

畫出函數g（t）和y=a的圖象，如圖所示：

故0＜a＜1．

【解析】（1）設出函數f（x）的解析式，根據f（0）=1求出c的值，根據f（x+1）﹣f（x）=2x，求出a，b的值，從而求出函數的解析式即可；（2）問題轉化為a=（2x﹣1）2在x∈（﹣∞，2]上有兩個不同的解，令t=2x，則0＜t≤4，令g（t）=（t﹣1）2，畫出函數g（t）和y=a的圖象，讀出a的范圍即可．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．