Question

【題目】如圖所示，一個圓柱形容器，高為h，半徑為a，容器中裝有高度為的液體。容器繞它豎直方向的軸以角速度旋轉。忽略任何表面張力的效應，求使液體不溢出容器邊緣的最大角速度的表達式。

Answer 1

【答案】

【解析】

原則上，本題既可用力來進行處理，也可以用勢來處理，這里選擇后者。

在轉動參考系中討論，本問題屬于靜平衡的問題。在轉動參考系中，液體表面靜止不動，無表面方向的流動，即平衡的表面是一個等勢面（慣性離心力和重力作用的結果）。

在轉動系中，由于總的力場是由兩個力場組成的，每個分力場的勢能零點可以獨立地選定（其和最多差一個常量）。

離心力勢能：將勢能零點選擇于處，則

。

重力勢能：將勢能零點選擇于處，則

。

所以，整個曲面在選擇最低點作為原點的條件下，表面的勢能為零，寫出方程：

，即。

液體不溢出容器的為曲面所圍的在容器內的容積正好等于整個容器體積的，即

，可得。

又滿足，

則。