Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場，第Ⅳ象限存在沿X軸正方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子從坐標(biāo)為（0，l）的A點(diǎn)以速度v₀斜射入磁場，然后在坐標(biāo)為（d，0）的B點(diǎn)垂直于X軸進(jìn)入電場，最后從y軸上的C點(diǎn)射出（C點(diǎn)在圖中未標(biāo)出），求解過程中所涉及的角度均用弧度表示，不計(jì)粒子重力，求：
（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）粒子從A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)的總時間t..

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出粒子運(yùn)動的軌跡，由于粒子在磁場和電場分界線處的速度與x軸垂直，圓周O′應(yīng)在x軸上，根據(jù)幾何關(guān)系及洛倫茲力提供向心力公式列式即可求解B；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場中運(yùn)動的圓心角α，根據(jù)t=

Rα

v

求解在磁場中運(yùn)動的時間，進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，其初速度為v₀，方向垂直于電場，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式求出在電場中運(yùn)動的時間，總時間即為兩者時間之和．

解答：解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示，由于粒子在磁場和電場分界線處的速度與x軸垂直，圓周O′應(yīng)在x軸上，
O′長度即為粒子運(yùn)動的半徑R，由幾何關(guān)系得：
R²=l²+（R-d）²  ①
粒子在磁場中運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力得：
Bqv0=m

v02

R

  ②
由①②解得：B=

2dmv0

q(l2+d2)

（2）設(shè)∠AO′B=α，則sinα=

l

R

 ③
由①③得：α=arcsin

2dl

l2+d2

粒子在磁場中運(yùn)動的時間
t1=

Rα

v0

=

d2+l2

2dv0

arcsin

2dl

l2+d2

④
進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，其初速度為v₀，方向垂直于電場，設(shè)粒子的加速度大小為a，由牛頓第二定律得：
qE=ma⑤
由運(yùn)動學(xué)公式得：d=

1

2

at22⑥
由⑤⑥解得：t2=

2md qE

粒子運(yùn)動的總時間t=t₁+t₂=

d2+l2

2dv0

arcsin

2dl

l2+d2

+

2md qE

答：（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

2dmv0

q(l2+d2)

；
（2）粒子從A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)的總時間t為

d2+l2

2dv0

arcsin

2dl

l2+d2

+

2md qE

．

點(diǎn)評：掌握平拋運(yùn)動的處理方法并能運(yùn)用到類平拋運(yùn)動中，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，能正確的畫出運(yùn)動軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系確定各量之間的關(guān)系．