Question

【題目】【選修4﹣1幾何證明選講】
如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAE=DCAF，B、E、F、C四點共圓．

（1）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；
（2）若DB=BE=EA，求過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD為△ABC外接圓的切線，∴∠DCB=∠A，

∵BCAE=DCAF，∴ ．

∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．

∵B、E、F、C四點共圓，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．

∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圓的直徑

（2）解：連接CE，∵∠CBE=90°，

∴過B、E、F、C四點的圓的直徑為CE，由DB=BE，得CE=DC，

又BC2=DBBA=2DB2，

∴CA2=4DB2+BC2=6DB2．

而DC2=DBDA=3DB2，

故過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC面積的外接圓的面積比值= =

【解析】（1）已知CD為△ABC外接圓的切線，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BCAE=DCAF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．
利用B、E、F、C四點共圓，可得∠CFE=∠DBC，進而得到∠CFE=∠AFE=90°即可證明CA是△ABC外接圓的直徑；（2）要求過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．只需求出其外接圓的直徑的平方之比即可．由過B、E、F、C四點的圓的直徑為CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割線定理可得DC2=DBDA，CA2=CB2+BA2 ， 都用DB表示即可．