Question

【題目】內半徑為R的直立圓柱器皿內盛水銀，繞圓柱軸線勻速旋轉（水銀不溢，皿底不露），穩定后的液面為旋轉拋物面。若取坐標原點在拋物面的最低點，縱坐標軸r與圓柱器皿的軸線重合，橫坐標軸r與z軸垂直，則液面的方程為，式中為旋轉角速度，g為重力加速度（當代已使用大面積的此類旋轉水銀液面作反射式天文望遠鏡）。觀察者的眼睛位于拋物面最低點正上方某處，保持位置不變，然后使容器停轉，待液面靜止后，發現與穩定旋轉時相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都無變化。求人眼位置至穩定旋轉水銀面最低點的距離。

Answer 1

【答案】

【解析】

旋轉拋物面對平行于對稱軸的光線嚴格聚焦，此拋物凹面鏡的焦距為。

由上式，旋轉拋物面方程可表示為。

停轉后液面水平靜止，由液體不可壓縮性，知液面上升。以下求拋物液面最低點上升的高度。

拋物液面最低點以上的水銀，在半徑R、高的圓柱形中占據體積為Μ的部分，即附圖中左圖陰影部分繞軸線旋轉所得的回轉體，其余體積為V的部分無水銀。體Μ在高度z處的水平截面為圓環，利用拋物面方程，得z處圓環面積為

。

將體V倒置，得附圖中右圖陰影部分繞軸線旋轉所得的回轉體Λ，相應拋物面方程變為，其高度z處的水平截面為圓面，面積為

。

由此可知：，

即停轉后拋物液面最低點上升: 。

因拋物鏡在其軸線附近的一塊小面積可視為凹球面鏡，拋物鏡的焦點就是球面鏡的焦點，故可用球面鏡的公式來處理問題。兩次觀察所見到的眼睛的像分別經凹面鏡與平面鏡反射而成，而先后看到的像的大小、正倒無變化，這就要求兩像對眼睛所張的視角相同。設眼長為，凹面鏡成像時，物距u即所求距離，像距v與像長y分別為

平面鏡成像時，由于拋物液面最低點上升，物距為。

像距與像長分別為。

兩像視角相同要求。

利用上述諸式，可解得所求距離。