Question

【題目】如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，若CF∥AB，證明：

（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點

∴DF∥BC，AD=DB

∵AB∥CF，∴四邊形BDFC是平行四邊形

∴CF∥BD，CF=BD

∴CF∥AD，CF=AD

∴四邊形ADCF是平行四邊形

∴AF=CD

∵ ，∴BC=AF，∴CD=BC

（2）證明：由（1）知 ，所以 ．

所以∠BGD=∠DBC．

因為GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．

所以△BCD～△GBD．

【解析】（1）根據D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，可得DE∥BC，證明四邊形ADCF是平行四邊形，即可得到結論；（2）證明兩組對應角相等，即可證得△BCD～△GBD．