Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M為不等式f（x）＜2的解集．
（1）求M；
（2）證明：當a，b∈M時，|a+b|＜|1+ab|．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x＜- 時，不等式f（x）＜2可化為： ﹣x﹣x﹣ ＜2，

解得：x＞﹣1，

∴﹣1＜x＜- ，

當- ≤x≤ 時，不等式f（x）＜2可化為： ﹣x+x+ =1＜2，

此時不等式恒成立，

∴- ≤x≤ ，

當x＞ 時，不等式f（x）＜2可化為：﹣ +x+x+ ＜2，

解得：x＜1，

∴ ＜x＜1，

綜上可得：M=（﹣1，1）

（2）

當a，b∈M時，

（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，

即a2b2+1＞a2+b2，

即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，

即（ab+1）2＞（a+b）2，

即|a+b|＜|1+ab|．

【解析】（1）分當x＜- 時，當- ≤x≤ 時，當x＞ 時三種情況，分別求解不等式，綜合可得答案；（2）當a，b∈M時，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2 ， 配方后，可證得結論．；本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，不等式的證明，難度中檔．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．