Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[﹣1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且 =m，求證：a+2b+3c≥9．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由題意可得m﹣|x|≥0的解集為[﹣1，1]，
即|x|≤m 的解集為[﹣1，1]，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且 =m=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）
=1+ + + +1+ + + +1
=3+ + + + + + ≥3+6=9，當(dāng)且僅當(dāng) = = = = = =1時，等號成立．
所以a+2b+3c≥9
【解析】（Ⅰ）由條件可得 f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集為[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集為[﹣1，1]，故m=1．（Ⅱ）根據(jù)a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）=1+ + + +1+ + + +1，利用基本不等式證明它大于或等于9．
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關(guān)知識點，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等才能正確解答此題．