Question

已知二次函數(shù)h(x)＝ax²＋bx＋c(c>0)，其導(dǎo)函數(shù)y＝h′(x)的圖象如下，且f(x)＝ln x－h(x)．
(1)求函數(shù)f(x)在x＝1處的切線斜率；
(2)若函數(shù)f(x)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)若函數(shù)y＝2x－lnx(x∈[1,4])的圖象總在函數(shù)y＝f(x)的圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

(1)由題知，h′(x)＝2ax＋b，其圖象為直線，且過A(2，－1)、B(0,3)兩點，
∴，解得.
∴h(x)＝－x²＋3x＋c.
∴f(x)＝ln x－(－x²＋3x＋c)＝x²－3x－c＋ln x.
∴f′(x)＝2x－3＋，
∴f′(1)＝2－3＋＝0，
所以函數(shù)f(x)在x＝1處的切線斜率為0.
(2)由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
由(1)知，f′(x)＝2x－3＋＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.
當x變化時，f(x)、f′(x)隨x的變化情況如下表：

x				1	(1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(1，＋∞)．
f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
要使函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
則，解得<m≤.
故實數(shù)m的取值范圍是.
(3)由題意可知，2x－ln x>x²－3x－c＋ln x在x∈[1,4]上恒成立，
即當x∈[1,4]時，c>x²－5x＋2ln x恒成立
設(shè)g(x)＝x²－5x＋2ln x，x∈[1,4]，則c>g(x)_max.
易知g′(x)＝2x－5＋＝＝.
令g′(x)＝0得，x＝或x＝2.
當x∈(1,2)時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當x∈(2,4)時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增．
而g(1)＝1²－5×1＋2ln 1＝－4，g(4)＝4²－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，
顯然g(1)<g(4)，故函數(shù)g(x)在[1,4]上的最大值為g(4)＝－4＋4ln 2，
故c>－4＋4ln 2.
∴c的取值范圍為(－4＋4ln 2，＋∞)

略