Question

【題目】長l的均勻細棒，質量線密度為λ，開始時一端溫度為，另一端溫度為，中間各處溫度線性地分布，此棒在絕熱的情況下，最終達到熱平衡。已知棒各處的比熱為相同的常量C。試求全過程棒的熵增量，并說明此過程是否可逆。

Answer 1

【答案】。棒的總熵增量,這是不可逆過程。

【解析】

棒的初始溫度分布容易求得。因過程絕熱，棒與外界無熱量交換，只是棒中溫度較低處從溫度較高處吸熱而升溫，同時溫度較高處向溫度較低處放熱而降溫，最后棒各處達到一致的溫度。由棒吸熱與放熱總量平衡，可確定全棒的溫度。棒中各小段從其初溫達到終溫，相應有熵的增量，各小段熵增量之和即為全過程棒的熵增量。由棒的熵增量的正、負號，即可確定過程是否可逆。

其實，這一過程就是熱量自發地從高溫物體向低溫物體傳輸的過程。由熱力學第二定律可知，這是一個不可逆過程，因此全過程的熵增量必定為正。解答過程如下：沿棒取x坐標如圖所示。

據圖有，。

因棒各處溫度線性地分布，故棒中任意x處的溫度為。

設在絕熱條件下達到熱平衡后，棒各處的溫度同為，則從x到（）小段的吸熱量應為。

因是絕熱的，棒的吸熱Q應為零，對上式積分，可得

，即。

棒中從x到（）小段，在全過程中，溫度從初態的達到終態的。該小段在任意元過程中，溫度從Τ增為（）時的熵增量為。

該小段從初態達到終態的熵增量為。

各小段在全過程中的熵增量之和即為棒在全過程中總熵增量△S,應為。

把和的表達式代入，得。

利用積分公式：，

最后可得。

可見，在全過程中，棒的總熵增量,為正，因此，這是不可逆過程。