Question

【題目】摩天大樓中一部直通高層的客運電梯，行程超過百米。電梯的簡化模型如圖甲所示。考慮安全、舒適、省時等因素，電梯的加速度a是隨時間t變化的。已知電梯在t=0時由靜止開始上升，a–t圖象如圖乙所示。電梯總質量m=2.0×103 kg。忽略一切阻力，重力加速度g取10 m/s2。

（1）求電梯在上升過程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；

（2）類比是一種常用的研究方法．對于直線運動，教科書中講解了由v–t圖象求位移的方法．請你借鑒此方法，對比加速度和速度的定義，根據圖乙所示的a–t圖象，求電梯在第1 s內的速度改變量Δv1和第2 s末的速率v2；

（3）求電梯以最大速率上升時，拉力做功的功率P；再求在0~11 s時間內，拉力和重力對電梯所做的總功W。

Answer 1

【答案】（1）F1=2.2×104 N F2=1.8×104 N （2）Δv1=0.5 m/s v2=1.5 m/s （3）P=2.0×105 W W=1.0×105 J

【解析】（1）由牛頓第二定律，有F–mg=ma

由a–t圖象可知，F1和F2對應的加速度分別是

a1=1.0 m/s2，a2=–1.0 m/s2，則

F1=m(g+a1)=2.0×103×(10+1.0) N=2.2×104 N

F2=m(g+a2)=2.0×103×(10–1.0) N=1.8×104 N

（2）類比可得，所求速度變化量等于第1 s內a–t圖線與t軸所圍圖形的面積，可得Δv1=0.5 m/s

同理可得2 s內的速度變化量Δv2=v2–v0=1.5 m/s

v0=0，第2 s末的速率v2=1.5 m/s

（3）由a–t圖象可知，11~30 s內速率最大，其值vm等于0~11 s內a–t圖線與t軸所圍圖形的面積，此時電梯做勻速運動，拉力F等于重力mg，所求功率P=Fvm=mg·vm=2.0×103×10×10 W=2.0×105 W

由動能定理得，總功W=Ek2–Ek1=mvm2–0=×2.0×103×102 J=1.0×105 J