Question

已知f（x）=2sin（x+

π

6

）-

4 3

3

tanα•cos²

x

2

，α∈（0，π） 且f（

π

2

=

3

-2）．
（1）求α；
（2）當x∈[

π

2

，π]時，求函數(shù)y=f（x+α）的值域．

Answer 1

分析：題干錯誤：且f（

π

2

=

3

-2）．  應該是：且f（

π

2

）=

3

-2．
（1）根據(jù)f（x）的解析式可得f（

π

2

）=

3

-

4 3

3

tanα•

1

2

=

3

-2，求得tanα=

3

，結合 α∈（0，π），求得 α 的值．
（2）由（1）得，f（x）=2sin（x-

π

6

）-2，可得函數(shù)y=f（x+α）=f（x+

π

3

）=2sin（x+

π

3

-

π

6

）-2=2sin（x+

π

6

）-2．再由

π

2

≤x≤π，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得
函數(shù)y=f（x+α）的值域．

解答：解：（1）因為f（x）=2sin（x+

π

6

）-

4 3

3

tanα•cos²

x

2

，∴f（

π

2

）=2sin（

π

2

+

π

6

）-

4 3

3

tanα•cos2

π

4

=

3

-

4 3

3

tanα•

1

2

=

3

-2，
所以，tanα=

3

，又 α∈（0，π），故 α=

π

3

．
（2）由（1）得，f（x）=2sin（x+

π

6

）-

4 3

3

tanα•cos²

x

2

=2sin（x+

π

6

）-4cos2

x

2

=

3

sinx+cosx-2（1+cosx）=2（

3

2

sinx-

1

2

cosx）-2=2sin（x-

π

6

）-2，
所以，y=f（x+α）=f（x+

π

3

）=2sin（x+

π

3

-

π

6

）-2=2sin（x+

π

6

）-2．
因為

π

2

≤x≤π，所以

2π

3

≤x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤

3

2

，∴-3≤2sin（x-

π

6

）-2≤

3

-2，
因此，函數(shù)y=f（x+α）的值域為[-3，

3

-2]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復合三角函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．