Question

（2012•海淀區(qū)二模）已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，建立方程，求得首項(xiàng)與公差，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列{

1

Sn

}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法，可求數(shù)列的和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，且d≠0，
∵S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列
∴3a₁+3d=a₁+3d+6，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∴a₁=3，d=2
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．