Question

【題目】如圖1，在矩形中，，，點在線段上，.把沿翻折至的位置，平面，連結，點在線段上，，如圖2.

（1）證明：平面；

（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）依題意得，可得出，，在線段上取一點，滿足，可求出，結合得出，從而可證出四邊形為平行四邊形，所以，再利用線面平行的判定定理，即可證出平面；

（2）設到平面的距離為，三棱錐的體積最大時，即取到最大值，從而得出當平面平面時，取得最大值，此時，建立空間直角坐標系，利用向量法分別求出平面和平面的法向量，運用向量法求二面角的公式，即可得出二面角的余弦值.

（1）依題意得，在矩形中，，，，

所以，.

在線段上取一點，滿足，

又因為，所以，

故，

又因為，所以，

因為，所以，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又因為平面，平面，

所以平面.

（2）設到平面的距離為，，又，

所以，故要使三棱錐的體積取到最大值，僅需取到最大值.

取的中點，連結，依題意得，則，

因為平面平面，，平面，

故當平面平面時，平面，.

即當且僅當平面平面時，取得最大值，此時.

如圖，以為坐標原點，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐

標系，得，，，

，，

設是平面的一個法向量，

則

得令，解得，

又因為平面的一個法向量為，

所以，

因為為鈍角，所以其余弦值等于