Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q、P，與橢圓分別交于點(diǎn)M、N，各點(diǎn)均不重合且滿足．

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

若，試證明：直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由已知條件推導(dǎo)出，，由此能求出橢圓的方程．

（2）由題意設(shè)，，，，設(shè)l方程為，由已知條件推導(dǎo)出，，由此能證明直線l過定點(diǎn)并能求出此定點(diǎn)．

解：橢圓過點(diǎn)，

，設(shè)焦距為2c，

長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列，

，又

解得

橢圓的方程為

由題意設(shè)，，，，

設(shè)l方程為，

由，知

，由題意，，

同理由知，，

，，

聯(lián)立，得，

需

且有，

代入得，，

直線與軸正半軸和軸分別交于點(diǎn)Q、P，

由題意，滿足，

得方程為，過定點(diǎn)，即為定點(diǎn)