Question

【題目】對于任意的，若數列同時滿足下列兩個條件，則稱數列具有“性質”.①；②存在實數使得.

（1）數列中，，判斷是否具有“性質”.

（2）若各項為正數的等比數列的前項和為，且，證明：數列具有“性質”，并指出的取值范圍.

（3）若數列的通項公式，對于任意的，數列具有“性質”，且對滿足條件的的最小值，求整數的值.

Answer 1

【答案】（1）不具有，具有；（2），；（3）或3

【解析】

（1）由于，不滿足條件①，因此不具有“性質”；證明，又，即可判斷出；

（2）等比數列的公比為且，由，，可得，解得，，可得，進而驗證即可證明．

（3）對于任意的，數列具有“性質”，利用，化為：，可得；另一方面：，可得，即可得出．

（1）解：，不滿足條件①，因此不具有“性質”；

，

因此滿足條件①，又，

因此存在，使得，綜上可得是否具有“性質”．

（2）證明：等比數列的公比為且，

，，，解得，．

．

，數列滿足條件①．

又，存在，使得，數列滿足條件②．綜上可得：數列具有“性質”， 的取值范圍是．

（3）對于任意的，數列具有“性質”，

，化為：，．

另一方面：，

，

令，則，

當時，恒成立，

在單調遞減，且，

在恒成立，又，

對恒成立，恒成立，

，

，

整數或3．