Question

已知 ().
（Ⅰ）當時,判斷在定義域上的單調性；
（Ⅱ）若在上的最小值為,求的值；
（Ⅲ）若在上恒成立，試求的取值范圍.

Answer 1

（1）單調遞增；（2）；（3）.

試題分析：（1）判斷函數的單調性常用作差比較法、導函數法.其共同點都是與0比大小確定單調性.也可以利用基本初等函數的單調性來判斷：當時，因為與在上都是單調遞增，所以 （）在定義域上單調遞增；（2）利用導函數法求閉區間上的最值，首先要求出極值，然后再與兩個端點函數值比較得出最值；既要靈活利用單調性，又要注意對字母系數進行討論；（3）解決“恒成立”問題，常用分離參數法，轉化為求新構造函數的最值（或值域）.
試題解析：(1)由題意得，且                               1分
顯然，當時，恒成立，在定義域上單調遞增；                3分
(2)當時由（1）得在定義域上單調遞增，
所以在上的最小值為，     4分
即（與矛盾，舍）；                         5分
當，顯然在上單調遞增，最小值為0，不合題意；           6分
當，，
                              7分
若（舍）；
若（滿足題意）；
（舍）；     8分    
綜上所述．    9分
(3)若在上恒成立，即在上恒成立,(分離參數求解)
等價于在恒成立，令.
則；      10分
令，則
顯然當時，在上單調遞減,,
即恒成立,說明在單調遞減,；    11分     
所以.   12分