Question

【題目】《城市規(guī)劃管理意見》中提出“新建住宅原則上不再建設(shè)封閉住宅小區(qū)，已建成的住宅小區(qū)和單位大院逐步打開”，此消息在網(wǎng)上一石激起千層浪．各種說法不一而足，為了了解居民對“開放小區(qū)”認同與否，從[25，55]歲人群中隨機抽取了n人進行問卷調(diào)查，得如下數(shù)據(jù)：

組數(shù)	分組	認同人數(shù)	認同人數(shù)占 本組人數(shù)比
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	p
第三組	[35，40）	100	0.5
第四組	[40，45）	a	0.4
第五組	[45，50）	30	0.3
第六組	[50，55）	15	0.3

（1）完成所給頻率分布直方圖，并求n，a，p．
（2）若從[40，45），[45，50）兩個年齡段中的“認同”人群中，按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，然后從這9人中選2名作為組長，組長年齡在[40，45）內(nèi)的人數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ的分布列和期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)[25，30）年齡段人數(shù)為x人，

由題意 ，解得x=200，

∵[25，30）年齡段人數(shù)的頻率為0.04×5=0.2，

∴ ，解得n=1000．

∵[30，35）年齡段人數(shù)的頻率為：1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，

∴[30，35）年齡段人數(shù)為0.3×1000=300，

∴p= =0.65，

∵[40，45）年齡段人數(shù)的頻率為0.03×5=0.15，

∴[40，45）年齡段人數(shù)為0.15×1000=150，

∴a=150×0.4=60．

完成頻率分布直方圖如下：

（2）解：由（1）得[40，45）年齡段中認同人數(shù)為60人，[45，50）兩段中認同人數(shù)為30人，

按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，[40，45）年齡段中抽取6人，[45，50）年齡段中抽取3人，

ξ的可能取值為0，1，2，

P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，

ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P

Eξ= = ．

【解析】（1）由頻率= ，利用已知條件能完成所給頻率分布直方圖，并能求出n，a，p．（2）由[40，45）年齡段中認同人數(shù)為60人，[45，50）兩段中認同人數(shù)為30人，按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，[40，45）年齡段中抽取6人，[45，50）年齡段中抽取3人，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點精析】掌握頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．