Question

（2013•嘉定區一模）已知函數f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

．
（1）求方程f（x）=0的解集；
（2）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，求角x的取值范圍及此時函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩種方法解：法1：令f（x）=0得到一個方程，將方程左邊提取cos

x

2

化為積的形式，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個方程，利用余弦函數的圖象與性質及正切函數的圖象與性質分別求出x的范圍，即可得到方程的解集；法2：將函數f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，令f（x）=0，整理后利用正弦函數的圖象與性質求出x的范圍，即為方程的解集．
（2）利用余弦定理表示出cosB，將已知的等式b²=ac代入，利用基本不等式變形得到cosB的范圍，由B為三角形的內角，利用余弦函數的圖象與性質得出此時B的范圍，即為x的范圍，將函數f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的定義域與值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）法1：由f（x）=0，
得sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

=cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）=0，
由cos

x

2

=0，得

x

2

=kπ+

π

2

，
∴x=2kπ+π（k∈Z）；
由sin

x

2

+

3

cos

x

2

=0，得tan

x

2

=-

3

，
∴

x

2

=kπ-

π

3

，即x=2kπ-

2π

3

（k∈Z），
則方程f（x）=0的解集為{x|2kπ+π或2kπ-

2π

3

（k∈Z）}；
法2：f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）
=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin（x+

π

3

）+

3

2

，
由f（x）=0，得sin（x+

π

3

）=-

3

2

，
可得x+

π

3

=kπ-（-1）^k

π

3

（k∈Z），即x=kπ-（-1）^k

π

3

-

π

3

（k∈Z），
則方程f（x）=0的解集為{x|x=kπ-（-1）^k

π

3

-

π

3

（k∈Z）}；
（2）∵b²=ac，且a²+c²≥2ac（當且僅當a=c時取等號），
∴由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

1

2

，
又B為三角形的內角，
∴0＜B≤

π

3

，
由題意得x=B，即x∈（0，

π

3

]，
f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）
=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin（x+

π

3

）+

3

2

，
∵x+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

]，
則此時函數f（x）的值域為[

3

，

3

2

+1]．

點評：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，余弦、正切函數的圖象與性質，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．