Question

已知平面上的線段l及點P，任取l上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離，記作d（P，l）
（1）求點P（1，1）到線段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距離d（P，l）；
（2）設l是長為2的線段，求點的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形面積；
（3）寫出到兩條線段l₁，l₂距離相等的點的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，其中l₁=AB，l₂=CD，A，B，C，D是下列三組點中的一組．
對于下列三種情形，只需選做一種，滿分分別是①2分，②6分，③8分；若選擇了多于一種情形，則按照序號較小的解答計分．
①A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
②A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2）．
③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．

Answer 1

分析：（1）根據所給的是一條線段，點到線段的距離不一定使用點到直線的距離公式得到，二是需要觀察過點做垂線，垂足是否落到線段上，結果不是落到線段上，所以用兩點之間的距離公式．
（2）由題意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，做出面積．
（3）根據題意從三組點的坐標中選第一組，根據所給的四個點的坐標，寫出兩條直線的方程，從直線方程中看出這兩條直線之間的平行關系，得到要求的結果．

解答：解：（1）點P（1，1）到線段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距離
d（P，l）是點P到（3，0）的距離，
d（P，l）=

22+1

=

5

，
（2）由題意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，
∴S=2²+π=4+π
（3）對于所給的三組點到坐標選第一組，A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
利用兩點式寫出兩條直線的方程，AB：x=1，CD：x=-1，
到兩條線段l₁，l₂距離相等的點的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，
根據兩條直線的方程可知兩條直線之間的關系是平行，
∴到兩條直線距離相等的點的集合是y軸．
選第二組點來計算：A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2），
根據第一組做出的結果，觀察第二組數據的特點，連接得到線段以后，
可以得到到兩條線段距離相等的點是y軸非負半軸，拋物線x=

1

4

y2(y≤0，0≤x≤1)，直線y=-x-1（x＞1）．
選第三組來求解到兩條線段距離相等的點，A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0），

根據兩條線段分別在橫軸和縱軸上，知到兩條線段距離相等的點在一三象限的角平分線上，
方程是y=x，不是這條直線上的所有的點都合題意，根據所給的點到直線的距離知（1，1）點左下方的符合題意，
所以所求的點的集合是y=x（0＜x≤1），y=

1

2

x2+

1

2

（1＜x＜2），2x-

3

2

（x≥2）或x≤0，y≤0．

點評：本題考查點到直線的距離公式，考查兩點之間的距離公式，考查利用兩點式寫直線的方程，考查點到線段的距離，本題是一個綜合題目．