Question

已知向量，向量是與向量夾角為的單位向量．
（1）求向量；
（2）若向量與向量平行，與向量垂直，求t=y²+5x+4的最大值．

Answer 1

解：（1）設=（x，y），
∵向量是單位向量，
∴x²+y²=1．
∵向量與向量夾角為，
∴cos=，
∴，
解方程組，
得x=0，y=1，或x=，y=-．
∴=（0，1），或=．
（2）∵=（0，1）和向量不平行，
∴向量=，
向量與向量平行，與向量垂直，
∴，
∴3x²-x+y²=0．
t=y²+5x+4
=（-3x²+x）+5x+4
=-3x²+6x+4，
因為-3x²+x＞0
所以0＜x＜，
所以當x=時，t=-3x²+6x+4取最大值t_max=．
分析：（1）設=（x，y），向量是單位向量，向量與向量夾角為，解方程組，能求出=（0，1），或=．
（2）由=（0，1）和向量不平行，知向量=，由向量與向量平行，與向量垂直，得到3x²-x+y²=0．所以t=y²+5x+4=-3x²+6x+4，再由導數求t的最大值．
點評：本題考查數量積的性質和應用，解題時要認真審題，注意導數的靈活運用．