Question

已知，其中是自然常數，
（Ⅰ）當時, 研究的單調性與極值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：；

Answer 1

（Ⅰ）的極小值為；（Ⅱ）。

試題分析：（1）因為，，那么求解導數的正負，得到單調性的求解。
（2） 的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，，構造函數令，確定出最大值。比較大小得到。
解：（Ⅰ），   ……2分
∴當時，，此時單調遞減
當時，，此時單調遞增   …………4分 
∴的極小值為                         ……6分
（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，……5分
令，，  …………8分   
當時，，在上單調遞增  ………9分
∴     ………11分
∴在（1）的條件下，……………………………12分
點評：解決該試題的關鍵是利用導數的正負判定函數單調性，和導數為零點的左右符號的正負，進而得到函數極值，進而求解最值。