Question

已知函數（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值為2，最小正周期為8．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為2，4，O為坐標原點，求△POQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數的最大值求出A，由周期求得ω，從而求得函數的解析式．
（2）解法1：先求出P、Q兩點的坐標，利用兩個向量的夾角公式求得cos∠POQ，可得sin∠POQ的值，根據△POQ的面積為，運算求得結果．
解法2：先求出P、Q兩點的坐標，利用點到直線的距離公式求得點Q到直線OP的距離d以及OP的長度，再根據△POQ的面積為 運算求得結果．
解答：（1）解：∵f（x）的最大值為2，且A＞0，∴A=2．…（1分）
∵f（x）的最小正周期為8，∴，得．…（2分）
∴f（x）=2sin（x+）．…（3分）
（2）解法1：∵，…（4分）
∴，…（5分）
∴．
∴．…（8分）
∴．…（10分）
∴=．…（11分）
∴△POQ的面積為=．…（12分）
解法2：∵，…（4分）
∴，…（5分）
∴．
∴直線OP的方程為，即．…（7分）
∴點Q到直線OP的距離為．…（9分）
∵，…（11分）
∴△POQ的面積為=．…（12分）
點評：本小題主要考查三角函數的圖象與性質、誘導公式、余弦定理、正弦定理、兩點間距離公式等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力，屬于中檔題．