Question

已知，其中是自然常數，

   （1）若為的極值點, 求的單調區間和最小值；        

   （2）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

   （3），在（1）的條件下，求證：．

Answer 1

（1）， 

若則_；若，則

∴∴的最小值 ；

（2）假設存在實數，

使（）有最小值3，

 

①當時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值．

②時，在上單調遞減，在上單調遞增

，，滿足條件．

③當時，在上單調遞減，

，（舍去），所以，此時無最小值．

綜上，存在實數，使得當時有最小值3．

       （3）的極小值為1，即在上的最小值為1，

       ∴ ，……5分

       令，，

       當時，，在上單調遞增 

       ∴ 

       ∴在（1）的條件下，