Question

某公司2009年9月投資14 400萬元購得上海世界博覽會某種紀念品的專利權及生產設備，生產周期為一年．已知生產每件紀念品還需要材料等其他費用20元．為保證有一定的利潤，公司決定該紀念品的銷售單價不低于150元，進一步的市場調研還發現：該紀念品銷售單價定在150元到250元之間較為合理（含150元及250元）．并且當銷售單價定為150元時，預測年銷售量為150萬件；當銷售單價超過150元但不超過200元時，預測每件紀念品的銷售價格每增加1元，年銷售量將減少1萬件；當銷售單價超過200元但不超過250元時，預測每件紀念品的銷售價格每增加1元，年銷售量將減少1.2萬件．根據市場調研的結果，設該紀念品的銷售單價為x（元），年銷售量為u（萬件），平均每件紀念品的利潤為y（元）．
（1）求年銷售量u關于銷售單價x的函數關系式；
（2）該公司考慮到消費者的利益，決定銷售單價不超過200元，問銷售單價x為多少時，平均每件紀念品的利潤y最大？

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得分段函數模型；
（2）求出平均每件紀念品的利潤函數，利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）當150＜x≤200（x∈N^*）時，u（x）=150-（x-150）=300-x，此時u（200）=100；
當200＜x≤250（x∈N^*）時，u（x）=u（200）-1.2（x-200）=-1.2x+340，
所以u（x）=

300-x，150＜x≤200 -1.2x+340，200＜x≤250

，其中x∈N^*；
（2）當150＜x≤200（x∈N^*）時，u（x）=300-x，
∴y=x-20-

14400

u(x)

=x-20-

14400

300-x

=-[（300-x）+

14400

300-x

]+280，
∵300-x＞0，∴（300-x）+

14400

300-x

≥240，當且僅當300-x=

14400

300-x

，即x=180時，等號成立，
∴y≤40，當且僅當x=180時，等號成立，即當x=180時，平均每件紀念品的利潤y最大．

點評：本題考查函數模型的建立，考查基本不等式求最值，確定函數模型是關鍵．