Question

數列{a_n}的前n項和記作S_n，滿足S_n=2a_n+3n-12  （n∈N^*）．
（1）求出數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

an

(Sn-3n)(an+1-6)

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜

1

6

；
（3）若c_n=

an-3

3n

，且

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

＜log_a（6-a）對所有的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n+3n-12可得S_n-1=2a_n-1+3（n-1）-12  （n≥2），兩式相減化簡可得a_n-3=2（a_n-1-3），從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=

an

(Sn-3n)(an+1-6)

=

1

6

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，從而b₁+b₂+…+b_n=

1

6

(

1

21-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)化簡可證
（3）c_n=

an-3

3n

=

2n

n

，令T_n=

1

c1

+ 

1

c2

++…+

1

cn

   再寫一式錯位相減可知Tn=2-

n+2

2n

，從而T_n＜2故問題可轉化為log_a（6-a）≤2，進而問題得解．

解答：解：（1）S_n=2a_n+3n-12，S_n-1=2a_n-1+3（n-1）-12  （n≥2）
作差化簡得到a_n-2a_n-1+3=0，所以a_n-3=2（a_n-1-3）且a₁=9，
所以a_n-3=6•2^n-1，所以a_n=3•2ⁿ+3
（2）b_n=

an

(Sn-3n)(an+1-6)

=

1

6

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，∴b₁+b₂+…+b_n=

1

6

(

1

21-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=

1

6

(

1

21-1

-

1

2n+1-1

)＜

1

6

（3）c_n=

an-3

3n

=

2n

n

，令T_n=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

錯位相減得 Tn=2-

n+2

2n

，∴T_n＜2  
∵

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

＜log_a（6-a）對所有的正整數n恒成立，∴log_a（6-a）≤2
當0＜a＜1時，6-a≤a²，∴a≥2或a≤-3
當1＜a＜6時，6-a≥a²，∴-3≤a≤2
綜上，1≤a≤2．

點評：本題考查構造法求數列的通項、裂項求和，同時考查恒成立問題的處理，解題時要認真審題，仔細解答，注意問題的等價轉化．