Question

已知f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R），若對x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立
（1）求實數a的值，并求f（1）的值；
（2）判斷函數的單調性，并證明你的結論；
（3）解不等式f（2x-1）＜

1

3

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據條件f（-x）=-f（x）建立方程關系即可求實數a的值，并求f（1）的值；
（2）根奇函數單調性的定義即可判斷函數的單調性，并證明；
（3）根據函數奇偶性和單調性的關系將不等式進行轉化即可．

解答： 解：（1）由對x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立，則函數f（x）是奇函數，則由f（0）=0，得，a=1，
則f（x）=

2x-1

2x+1

，即f（1）=

1

3

．…（4分）
（2）f（x）在定義域R上為增函數．…（6分）
證明如下：由得f（x）=

2x-1

2x+1

，
任取x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

 …（8分）
∵x₁＜x₂，
∴2^x₁＜2^x₂，
∴f（x₁）＜f（x₂），即則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即則f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在定義域R上為增函數．…（10分）
（3）由（1），（2）可知，不等式f（2x-1）＜

1

3

可化為f（2x-1）＜f（1），
即2x-1＜1，解得x＜1．
得原不等式的解集為（-∞，1）．…（12分）

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數單調性的證明，利用定義法是解決本題的關鍵．