Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓上的點到焦點距離的最大值為2+

2

，最小值為2-

2

．
（1）求橢圓的方程
（2）設過點(0，

3

)的直線l與橢圓交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓與y軸相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的長半軸為a，短半軸長為b，半焦距為c，則

a+c=2+ 2 a-c=2- 2

，解出即可；
（2）易判斷直線l存在斜率，設直線l的方程為y=kx+

3

，因為以AB為直徑的圓與y軸相切，所以圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標等于半徑，由弦長公式可求得|AB|，從而可得半徑，利用韋達定理及中點坐標公式可求得圓心橫坐標．

解答：解：（1）設橢圓的長半軸為a，短半軸長為b，半焦距為c，
則

a+c=2+ 2 a-c=2- 2

，解得

a=2 c= 2

，b²=a²-c²=2，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）易知直線不存在斜率時不滿足條件，設直線l的方程為y=kx+

3

，
由

y=kx+ 3 x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4

3

kx+2=0，△＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4 3

1+2k2

k，x1x2=

2

1+2k2

，
則

x1+x2

2

=-

2 3 k

1+2k2

，即圓心橫坐標為-

2 3 k

1+2k2

，
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

(- 4 3 k 1+2k2 )2- 8 1+2k2

=

2 1+k2 • 8k2-2

1+2k2

，
因為以AB為直徑的圓與y軸相切，所以|-

2 3 k

1+2k2

|=

1+k2 • 8k2-2

1+2k2

，解得k=±1，
所以直線l的方程為：y=x+

3

或y=-x+

3

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓標準方程的求解，弦長公式、韋達定理是解決該類問題的基礎，解決（2）問的關鍵是由線圓相切得到等式．