Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足， ，求證： ， .

Answer 1

【答案】（1），無最大值.（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律確定單調(diào)性，進(jìn)而確定最值（2）當(dāng)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)易得為單調(diào)遞增函數(shù)，且 ，因此（3）先證明為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明

試題解析：（1）∵，∴，

∴，令，得，則隨變化如下：

所以，無最大值.

（2）設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，且， ，函數(shù)在上是增加的，

∴， 成立；

當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)， ，

函數(shù)在上是減小的，而，所以，當(dāng)時(shí)， ，

所以不恒成立，

綜上，對(duì)任意都有恒成立時(shí)， .

（3）∵，∴，

又，當(dāng)時(shí)， ，∴在上是增加的，

所以，當(dāng)時(shí)，∵，∴，

而，∴成立.

，假設(shè)時(shí)， 成立，那么當(dāng)時(shí)， ，

而，∴成立.

綜合， 得： ， 成立.