Question

設f（x）=ax²+8x+3（a∈R）．
（1）若g（x）=x•f（x），f（x）與g（x）在x同一個值時都取極值，求a；
（2）對于給定的負數a，當a≤-8時有一個最大的正數M（a），使得x∈[0，M（a）]時，恒有|f（x）|≤5．
（i）求M（a）的表達式；
（ii）求M（a）的最大值及相應的a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得f（x）在時取得極值．由于f（x）與g（x）在x同一個值時都取極值，故由g'（x）=3ax²+16x+3知
，從而渴求的故．
（2）（i）先求得．再分類討論：當，即-8＜a＜0時，此時不滿足條件；當，即a≤-8時，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，而M（a）要最大，只能是ax²+8x+3=-5的較大根，故可求；
（ii）由 由于a≤-8，故可求
解答：解：（1）易知a≠0，f（x）在時取得極值．
由g（x）=ax³+8x²+3x得g'（x）=3ax²+16x+3
由題意得：．故．
經檢驗時滿足題意．
（2）（i）因．∴．
情形一：當，即-8＜a＜0時，此時不滿足條件．
情形二：當，即a≤-8時，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
而M（a）要最大，只能是ax²+8x+3=-5的較大根，則．
∴
（ii） ，
∴當a=-8時，．
點評：本題以函數為載體，考查函數的極值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力．