Question

已知銳角△ABC中的三個內角分別為A、B、C．
（1）設

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，∠A=

5π

12

，求△ABC中∠B的大�。�
（2）設向量

s

=(2sinC，  -

3

)，

t

=(cos2C，  2cos2

C

2

-1)，且

s

∥

t

，若sinA=

2

3

，求sin(

π

3

-B)的值．

Answer 1

分析：（1）利用

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，推出

AB

2-

.

BC

²=0，得到△ABC為等腰三角形． 再由∠A=

5π

12

，能求出∠B=

π

6

．
（2）利用

s

∥

t

，求出C的值，通過sinA=

2

3

，求出cosA，然后利用兩角差的正弦函數求sin（

π

3

-B）的值．

解答：解：（1）因為

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，
所以

CA

•(

BC

-

AB

)=0，
又

AB

+

BC

+

CA

=0，
所以

CA

=-（

AB

+

BC

），所以-（

AB

+

BC

）•（

BC

-

AB

）=0，
所以

AB

2-

.

BC

²=0，
所以|

AB

|²=|

BC

|²，即|

AB

|=|

BC

|，
故△ABC為等腰三角形． 
因為∠A=

5π

12

，所以∠B=

1

2

(π-

5π

12

)=

7π

24

．
（2）∵

s

=(2sinC，  -

3

)，

t

=(cos2C，  2cos2

C

2

-1)，且

s

∥

t

，
∴2sinC（2cos2

C

2

-1）=-

3

cos2C，
∴sin2C=-

3

cos2C，即tan2C=-

3

，
∵C為銳角，∴2C∈（0，π），
∴2C=

2π

3

，∴C=

π

3

．
∴A=

2π

3

-B，
∴sin（

π

3

-B）=sin[（

2π

3

-B）-

π

3

]=sin（A-

π

3

）．
又sinA=

2

3

，且A為銳角，∴cosA=

5

3

，
∴sin（

π

3

-B）=sin（A-

π

3

）
=sinAcos

π

3

-cosAsin

π

3

=

2

3

×

1

2

-

5

3

×

3

2

=

2- 15

6

．

點評：本題考查向量的數量積與向量的平行的應用，兩角和與差的三角函數，注意角的范圍的確定是解題的關鍵，考查計算能力．