Question

某商品每件成本5元，售價(jià)14元，每星期賣出75件.如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價(jià)降低1元時(shí)，一星期多賣出5件.

（1）將一星期的商品銷售利潤(rùn)表示成的函數(shù)；

（2）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)即商品每件定價(jià)為9元時(shí)，可使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大.

【解析】

試題分析：（1）先寫出多賣的商品數(shù)，則可計(jì)算出商品在一個(gè)星期的獲利數(shù)，再依題意：“商品單價(jià)降低1元時(shí)，一星期多賣出5件”求出比例系數(shù)，即可得一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成的函數(shù)；（2）根據(jù)（1）中得到的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值，也就是求出函數(shù)的極大值，從而得出定價(jià)為多少元時(shí)，能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大.

試題解析：（1）依題意，設(shè)，由已知有，從而

3分

7分

（2） 9分

由得，由得或

可知函數(shù)在上遞減，在遞增，在上遞減 11分

從而函數(shù)取得最大值的可能位置為或是

，

當(dāng)時(shí)， 13分

答：商品每件定價(jià)為9元時(shí)，可使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大 14分.

考點(diǎn)：1.函數(shù)模型及其應(yīng)用；2.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.