Question

已知定義在R上的函數f(x)滿足：對于任意實數x，y，恒有f(x-y)=，且當x＞0時，0＜f(x)＜1．

(1)求證：f(0)=1，且當x＜0時，有f(x)＞1；

(2)試判斷函數f(x)在R上的單調性，并證明你的結論；

(3)若實數x、y，滿足：f[(x-2)²]·f[(y-2)²]≥f(2)，且f(x+y-4)≤1，求z=x+y的取值范圍．

Answer 1

答案：(1)∵f(x-x)==1，∴f(0)=1

設x＜0，則-x＞0，0＜f(-x)＜1

f(x)=f[0-(-x)]=＞1．

(2)設-∞＜x₁＜x₂＜+∞，

則x₂-x₁＞0，0＜f(x₂-x₁)＜1

f(x₁)=f[x₂-(x₂-x₁)]=＞f(x₂)

∵f(x₂)＞0

∴f(x)在R上單調遞減．

(3)∵f(x-y)·f(y)=f(x)

∴f(x)·f(y)=f(x+Y)

∴f[(x-2)²]·f[(y-2)²]

=f[(x-2)²+(y-2)²]≥f(2)

∴(x-2)²+(y-2)²≤2                                                           ①

又f(x+y-4)≤1=f(0)

∴x+y-4≥0                                                                 ②

∴z∈[4，6](可作圖求解)．