Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一點．
（Ⅰ）若BM=2MP，求證：PD∥平面MAC；
（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若二面角B﹣AC﹣M的余弦值為 ，求 的值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結BD交AC于點O，連結OM．
因為 AB∥CD，AB=2CD，所以 ．
因為 BM=2MP，所以 ．所以 ．
所以OM∥PD．
因為 OM平面MAC，PD平面MAC，
所以 PD∥平面MAC．
（Ⅱ）因為 平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥AB，
平面PAD∩平面ABCD=AD，AB平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD．
因為PA平面PAD，所以AB⊥PA．
同理可證：AD⊥PA．
因為 AD平面ABCD，AB平面ABCD，AD∩AB=A，
所以PA⊥平面ABCD．
解：（Ⅲ）分別以邊AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
由AB=AD=AP=2CD=2，
得A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），
則 ， ．
由（Ⅱ）得：PA⊥平面ABCD．
所以 平面ABCD的一個法向量為 ．
設 （0≤λ≤1），即 ．所以 ．
設平面AMC的法向量為 ，
則 ，即
令x=λ﹣1，則y=2﹣2λ，z=﹣2λ．所以 ．
因為 二面角B﹣AC﹣M的余弦值為 ，
所以 ，解得 ．
所以 的值為 ．


【解析】（Ⅰ）連結BD交AC于點O，連結OM，推導出OM∥PD，由此能證明PD∥平面MAC．（Ⅱ）推導出AB⊥PA，AD⊥PA，由此能證明PA⊥平面ABCD．（Ⅲ）分別以邊AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出 的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．