Question

某中學經市人民政府批準建分校，工程從2010年底開工到2013年底完工，工程分三期完成．經過初步招投標淘汰后，確定只由甲、乙兩家建筑公司承建，且每期工程由兩公司之一獨立承建，必須在建完前一期工程后再建后一期工程．已知甲公司獲得第一期、第二期、第三期工程承包權的概率分別為

3

4

、  

1

2

、  

1

4

．
（1）求甲、乙兩公司各至少獲得一期工程的概率；
（2）求甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多的概率．

Answer 1

分析：（1）記事件：“甲乙兩工程公司各至少獲得一期工程”為事件A，此事件較為復雜，故可以轉化求其對立事件的概率來求，由于各期工程承包之間沒有影響，故需要用概率的乘法公式來求解：
（2）記事件：“甲獲得工程事件為A_i（i=1，2，3）”記事件：“乙獲得工程事件為B_i（i=1，2，3）”，甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多意味著甲公司獲得兩期工程，或者獲得了三期工程，這些事件之間是互斥的關系，故要采用概率的加法公式來求解．

解答：解：（1）記事件：“甲乙兩工程公司各至少獲得一期工程”為事件A，記事件：“甲乙兩工程公司各至少獲得一期工程的對立事件”為

.

A

．則P(A)=1-P(

.

A

)=1-(

3

4

×

1

2

×

1

4

+

3

4

×

1

2

×

1

4

)=

13

16

（5分）
（2）記事件：“甲獲得工程事件為A_i（i=1，2，3）”
記事件：“乙獲得工程事件為B_i（i=1，2，3）”
記事件：“甲獲得工程期數比乙獲工程期數多的事件為D”，則D=A₁•A₂•B₃+A₁•A₃•B₂+A₂•A₃•B₁+A₁•A₂•A₃，故甲獲得工程期數比乙獲得工程期數多的概率為

P(D)=P(A1A2B3+A1A3B2+A2A3B1+A1A2A3)         =P(A1A2B3)+P(A1A3B2)+P(A2A3B1)+P(A1A2A3)         = 3 4 × 1 2 × 3 4 + 3 4 × 1 4 × 1 2 + 1 2 × 1 4 × 3 4 + 3 4 × 1 2 × 1 4         = 9 16

（10分）
答（1）甲乙兩工程公司各至少獲得一期工程的概率為

13

16

；
（2）甲獲得工程期數比乙獲得工程期數多的概率為

9

16

；（12分）

點評：本題考查相互獨立事件的概率公式的使用，解答此類題關鍵是正確判斷出事件的性質，確定是分類還是分步，且注意公式的靈活運用，由第一小題轉化為對立事件求解，第二小題轉化化四個事件的和，這些都是概率中常用的鑰匙技巧．