（本題滿分14分）設
為非負實數，函數
.
（Ⅰ）當
時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）討論函數
的零點個數，并求出零點．
（Ⅰ）
的單調遞增區間是
和
，單調遞減區間是
（Ⅱ）當
時，函數的零點為
；
當
時，函數有一個零點，且零點為
；
當
時，有兩個零點
和
；
當
時，函數有三個零點
和.
【解析】
試題分析：（Ⅰ）當
時，
， ……2分
①當
時，
，∴在上單調遞增；
② 當
時，
，
∴在上單調遞減，在上單調遞增；
綜上所述，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是. ……6分
（Ⅱ）（1）當時，
，函數
的零點為
；
（2）當
時，
，
故當
時，
，二次函數對稱軸
，
∴在
上單調遞增，
；
當
時，
，二次函數對稱軸，
∴在
上單調遞減，在
上單調遞增；
∴的極大值為
，
當
，即時，函數與
軸只有唯一交點，即唯一零點，
由
解之得
函數的零點為
或
（舍去）；
當
，即時，函數與軸有兩個交點，即兩個零點，分別為
和
；
當
，即時，函數與軸有三個交點，即有三個零點，
由
解得，
，
∴函數的零點為和.
綜上可得，當時，函數的零點為；
當時，函數有一個零點，且零點為；
當時，有兩個零點和；
當時，函數有三個零點和.
……14分
考點：本小題主要考查函數單調性的判斷和單調區間的求解，含參數的二次函數單調性的判斷以及函數零點個數的判斷，考查學生分類討論思想的應用.
點評：判斷函數的單調性可以用單調性的定義并結合常見函數的單調性，二此函數判斷單調性要結合二次函數的圖象，分類討論時要做到不重不漏.
科目：高中數學 來源： 題型：
（本題滿分14分）
設函數
，
。
（1）若
，過兩點
和
的中點作
軸的垂線交曲線
于點
，求證：曲線在點
處的切線
過點
；
（2）若
，當
時
恒成立，求實數
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源：2011——2012學年湖北省洪湖二中高三八月份月考試卷理科數學 題型：解答題
（本題滿分14分）設橢圓
的左、右焦點分別為F1與
F2，直線
過橢圓的一個焦點F2且與橢圓交于P、Q兩點，若
的周長為
。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C經過伸縮變換
變成曲線
，直線
與曲線相切
且與橢圓C交于不同的兩點A、B，若
，求
面積的取值范圍。（O為坐標原點）
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年浙江省杭州市高三寒假作業數學卷三 題型：解答題
（本題滿分14分）設M是由滿足下列條件的函數
構成的集合：“①方
有實數根；②函數的導數
滿足
”
（I）證明：函數
是集合M中的元素；
（II）證明：函數具有下面的性質：對于任意
，都存在
，使得等式
成立。
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省揭陽市高三調研檢測數學理卷 題型：解答題
本題滿分14分）
設函數
.
（1）若
，求函數
的極值；
（2）若
，試確定
的單調性；
（3）記
，且
在
上的最大值為M，證明：
．
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（1）求函數
的單調區間；（2）求
時，用數學歸納法證明：