Question

（本小題滿分14分）已知動圓與直線相切，且過定點F(1, 0)，動圓圓心為M．

（1）求點M的軌跡C的方程；

（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點，且（O為坐標原點），求證：直線l過一定點．

 

Answer 1

【答案】

,直線AB過定點 (5, 0)．

【解析】解：（1）由已知，點M到直線的距離等于到點（1，0）的距離，所以點M是以F(1, 0)為焦點，以為準線的拋物線，焦點到準線的距離p = 2，       ．．．．．．．．2分

∴   點M的軌跡方程為．                           ．．．．．．．．．4分

（2）設，由可得：   ①

∵   A、B均在拋物線上，

∴    Þ       ②              

由①②可得：，

∴   或（舍去）．                      ．．．．．．．．．．．．．8分

再由相減得：，

若，則AB⊥x軸，，由①：，結合得：，

    ∴   此時AB的方程為．                       ．．．．．．．．．．．．．．9分

若，則，即為直線AB的斜率，而，則AB的方程為：

    ，                         ．．．．．．．．．．．．．11分

即  ，

    ∴   也過定點 (5, 0).              ．．．．．．．．．．．．．．．13分

綜上得，直線AB過定點 (5, 0)．                        ．．．．．．．．．．．．．．．14分