Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：，其中λ為實數，n為正整數．
（Ⅰ）若數列{a_n}前三項成等差數列，求的值；
（Ⅱ）試判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論；
（Ⅲ）設0<a<b，S_n為數列{b_n}的前n項和．是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a<S_n<b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)  
(2) λ≠-6時，數列｛b_n｝是以－(λ＋6)為首項，－為公比的等比數列.
(3) λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）

試題分析：（Ⅰ）證明：，
由條件可得，所以  （4分）
(Ⅱ)解：因為b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+9］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+6)
=(-1)ⁿ·（a_n-3n+9）=-b_n
又b₁=,所以
當λ＝－6時，b_n=0(n∈N⁺),此時｛b_n｝不是等比數列，
當λ≠－6時，b₁=≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).
故當λ≠-6時，數列｛b_n｝是以－(λ＋6)為首項，－為公比的等比數列. （10分）
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當λ=-6,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.
∴λ≠-6，故知b_n= －(λ+6)·(－)^n-1，于是可得
S_n=
要使a<S_n<b對任意正整數n成立，
即a<-(λ+6)·［1－（－）ⁿ］<b(n∈N⁺)
   ①
當n為正奇數時，1<f(n)
∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+6)<
當a<b3a時，由－b－6－3a－6，不存在實數滿足題目要求；
當b>3a時存在實數λ，使得對任意正整數n,都有a<S_n<b,
且λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）  （16分）
點評：熟練的根據等差數列和等比數列的定義和求和來求解，屬于中檔題。