Question

在算式“1×口＋4×口＝30”的兩個(gè)口中，分別填入兩個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則這兩個(gè)數(shù)的和為________．

Answer 1

15

解析試題分析：先設(shè)出兩個(gè)□，然后利用代入消元法表示出其倒數(shù)和，由于該倒數(shù)和的形式中分母次數(shù)高于分子，則求其倒數(shù)的最大值，這與原倒數(shù)和的最小值是一致的；最終把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為x++a（x＞0）的形式，利用基本不等式求最值，則由取最值的條件即可解決問題。
設(shè)1×m+4n=30，m、n∈N₊，則m=30-4n，其中1≤n≤7，那么所求的即為
，那么當(dāng)且僅當(dāng)m=2n,解得n=5,m=10,故m+n=15,故答案為15.
考點(diǎn)：本試題主要考查了代數(shù)式向形如x++a（x＞0，a為常數(shù)）的代數(shù)式的轉(zhuǎn)化方法，注意分子次數(shù)必須高于分母次數(shù)；同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用條件，特別是取等號(hào)時(shí)的條件．該題代數(shù)運(yùn)較為繁瑣，運(yùn)算量較大，屬于難題．
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是能夠構(gòu)造均值不等式的特征，結(jié)合不等式的一正二定三相等的思想來求解最值。