Question

設、∈R，常數，定義運算“”：，定義運算“”： ；對于兩點、，定義．

(Ⅰ)若≥0，求動點P( ,) 的軌跡；

（Ⅱ）已知直線與(Ⅰ)中軌跡交于、兩點，若，試求的值；

(Ⅲ)  在(Ⅱ)中條件下，若直線不過原點且與軸交于點S，與軸交于點T，并且與(Ⅰ)中軌跡C交于不同的兩點P、Q , 試求的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ) 設 ,

則 ,

又由≥0 ,

可得P( ,) 的軌跡方程為，軌跡C為頂點在原點，焦點為的拋物線在軸上及第一象限的內的部分；       

(Ⅱ) 由已知可得  ,  整理得,                                           

由 ,得．∵，∴．

∴

 ,

解得或(舍) ．                   

 (Ⅲ) ∵ ，

∴

設直線 ,

依題意, ，則

分別過P、Q作PP­₁⊥ y軸，QQ₁⊥ y軸，垂足分別為P₁、Q₁，則

．

由  消去y得．

∴≥ ．

∵、取不相等的正數，∴取等的條件不成立，

 ∴的取值范圍是（2，+）．