Question

【題目】設數列 的前項和為，對一切，點都在函數的圖象上.

（1）求，歸納數列的通項公式（不必證明）；

（2）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為，，， ；，，，；，…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，求的值；

（3）設為數列的前項積，若不等式對一切都成立，其中，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）2010；（3）.

【解析】

（1）點坐標代入函數解析式，得，令依次可求得，歸納出通項公式；

（2）依題意，每一次循環記為一組.由于每一個循環含有4個括號，故是第25組中第4個括號內各數之和．這樣可求得（注意規律），而，因此結論易用得．

（3）由，得，不等式對一切都成立， 就是對一切都成立，

設，則只需即可.用作商的方法說明是遞減數列，從而問題易求解．

（1）因為點在函數的圖象上，故，所以.

令，得，所以；令，得，所以，,……

由此猜想：.

（2）因為，所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），….

每一次循環記為一組.由于每一個循環含有4個括號，故是第25組中第4個括號內各數之和.由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20.

同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20. 故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80.

注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，

所以.又，所以.

（3）因為，故，所以.

又，故對一切都成立，

就是對一切都成立，

設，則只需即可.

由于，所以，故是單調遞減，

于是，解得.