Question

16、如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則下列四個(gè)命題：
①P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變；
③P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角P-AD₁-C的大小不變；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到點(diǎn)D和C₁距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是過(guò)D₁點(diǎn)的直線，其中真命題的編號(hào)是

①③④

．（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離相等，底不變，所以體積不變．
②通過(guò)舉例說(shuō)明，如直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等．
③P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響．
④M在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，而點(diǎn)D和C₁距不在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，且距離相等，則點(diǎn)M的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線．而DD₁=D₁C₁，所以必過(guò)D₁點(diǎn)．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁∥上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離相等，所以體積不變，正確．
②P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等，所以不正確．
③當(dāng)P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響，所以正確．
④∵M(jìn)是平面A₁B₁C₁D₁上到點(diǎn)D和C₁距離相等的點(diǎn)，∴M點(diǎn)的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線，而DD₁=D₁C₁，所以正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三棱錐體積的轉(zhuǎn)化，線面角，二面角以及點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，考查全面，靈活，是一道好題．