Question

如圖，已知動直線l經過點P（4，0），交拋物線y²=2ax（a＞0）于A，B兩點，坐標原點O是PQ的中點，設直線AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂．
（1）證明：k₁+k₂=0；
（2）當a=2時，是否存在垂直于x軸的直線l′，被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請求出直線l′的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線l方程與拋物線方程聯立可得：y²-2amy-8a=0，表示出直線AQ，BQ的斜率，利用韋達定理可證；
（2）假設存在這樣的直線，記作l'：x=t．若要滿足題意，只需r²-d²為常數即可．

解答：（1）證明：設直線l方程為x=my+4（m∈R），與拋物線方程聯立可得：y²-2amy-8a=0，
再設點A(

y12

2a

，y1)，B(

y22

2a

，y2)，則y₁•y₂=-8a
所以k1=

y1

y12 2a +4

=

2ay1

y12+8a

=

2a• -8a y2

64a2 y22 +8a

=-

2ay2

y22+8a

=-k2，故k₁+k₂=0-----（7分）
（2）解：因為a=2，所以拋物線的方程為：y²=4x．
記線段AP中點即圓心為O′(

y12+16

8

，

y1

2

)，則圓的半徑r=|O′P|=

( y12+16 8 -4)2+ y12 4

，
假設存在這樣的直線，記作l'：x=t．若要滿足題意，只需r²-d²為常數即可．--------（10分）
故r²-d²=(

y12+16

8

-4)2+

y12

4

-(t-

y12+16

8

)2=(

t

4

-

3

4

)y12-t2+4t
所以

t

4

=

3

4

，即t=3時，能保證為常數，故存在這樣的直線l'：x=3滿足題意．-----（15分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查圓中弦長的計算，屬于中檔題．