Question

已知向量

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，2cosx)，若f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的周期及對稱軸的方程；
（2）若x∈[

π

12

，

π

3

]，試求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積與二倍角公式，求出函數f（x）的表達式，然后直接求解函數的周期，通過正弦函數的對稱軸方程求出函數的對稱軸的方程；
（2）通過x∈[

π

12

，

π

3

]，求出表達式相位的范圍，通過正弦函數的值域求解函數f（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=(2cosx，

3

sinx)•(cosx，2cosx)
=2cos²x+2

3

sinxcosx
=2sin（2x+

π

6

）+1．
所以T=π，
又∵2x+

π

6

=kπ+

π

2

，
∴x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴對稱軸的方程為：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
（2）因為x∈[

π

12

，

π

3

]，
所以2x+

π

6

∈[

π

2

，π]，
sin（2x+

π

6

）∈[0，1]，
∴f（x）的值域[1，3]．

點評：本題考查正弦函數的對稱性，平面向量數量積的運算，兩角和與差的正弦函數，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的定義域和值域知識，考查基本知識的靈活運用．