Question

【題目】已知函數f（x）＝x2﹣2acoskπlnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若k＝2018，關于x的方程f（x）＝2ax有唯一解，求a的值；

（3）當k＝2019時，證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求導求出，對分類討論，求出的解，即可求出結論；

（2）問題轉化為只有一個零點，求出函數的極值，根據圖像可得極值點即為零點，建立方程關系，即可求出；

（3）根據已知即證xlnx，x＞0恒成立，先考慮證明不等式成立的充分條件，即證明，若不成立，則構造函數，證明，即可證明結論.

（1）由已知得x＞0且f′（x）＝2xcoskπ＝2x﹣．

當k是奇數時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數；

當k是偶數時，則f′（x）＝2x．

所以當x∈（0，）時，f′（x）＜0，

當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0．

故當k是偶數時，f （x）在（0，）上是減函數，

在（，+∞）上是增函數．

（2）若k＝2018，則f（x）＝x2﹣2alnx．

記g（x）＝f（x）﹣2ax＝x2﹣2alnx﹣2ax，

∴g′（x）（x2﹣ax﹣a），

若方程f（x）＝2ax有唯一解，即g（x）＝0有唯一解；

令g′（x）＝0，得x2﹣ax﹣a＝0．

因為a＞0，x＞0，所以x10（舍去），x2．

當x∈（0，x2）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是單調遞減函數；

當x∈（x2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是單調遞增函數．

當x＝x2時，g′（x2）＝0，g（x）min＝g（x2）．

因為g（x）＝0有唯一解，所以g（x2）＝0．

則 ，

兩式相減得2alnx2+ax2﹣a＝0，

又∵a＞0，∴2lnx2+x2﹣1＝0（*）；

設函數h（x）＝2lnx+x﹣1，

因為在x＞0時，h （x）是增函數，所以h （x）＝0至多有一解．

因為h（1）＝0，所以方程（*）的解為x 2＝1，從而解得a．

（3）證明：當k＝2019時，問題等價于證明xlnx，x＞0，

由導數可求φ（x）＝xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，

當且僅當x時取到，

設m（x），則m′（x），

當0＜x＜1時，m′（x）＞0，函數m（x）單調遞增，

當x＞1時，m′（x）＜0，函數m（x）單調遞減，

∴m（x）max＝m（1）

從而對一切x∈（0，+∞），都有xlnx，成立．故命題成立．