Question

附加題：如圖，過橢圓C：（a＞b＞0）上一動點P引圓x²+y²=b²的兩條切線PA，PB（A，B為切點）．直線AB與x軸、y軸分別交于M、N兩點．
①已知P點的坐標為（x₀，y₀），并且x₀•y₀≠0，試求直線AB的方程；　　
②若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓C的方程；
③橢圓C上是否存在P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，求出存在的條件；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設A （x₁，y₁），B （x₂，y₂）切線PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，
∵P點在切線PA、PB上，∴x₁x₀+y₁y₀=b²，x₂x₀+y₂y₀=b²．
∴直線AB的方程為x₀x+y₀y=b²．
（2）在x₀x+y₀y=b²中，2b=8?b=4，b²=16，
分別令y=0，得，x=0 得
代入，得：①
又P（x₀，y₀）在橢圓上：②代入①?a²=25∴所求橢圓為：（xy≠0）
（3）假設存在點P（x₀，y₀）滿足PA⊥PB，連OA、OB，
由|PA|=|PB|，知四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA|∴x₀²+y₀²=2b²①又P在橢圓上∴a²x₀²+b²y₀²=a²b²②
由①、②知：∵a＞b＞0∴a²＞b²，
所以 當a²≥2b²＞0，即時，橢圓C上存在點P₁滿足條件，
當a²＜2b²，即時，橢圓C上不存在滿足條件的點P．
分析：（1）設A （x₁，y₁），B （x₂，y₂），切線PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，由P點在切線PA、PB上，能求出直線AB的方程．
（2）在x₀x+y₀y=b²中，2b=8?b=4，b²=16，分別令y=0，得，x=0 得．代入，得：．由此能求出橢圓C的方程．
（3）假設存在點P（x₀，y₀）滿足PA⊥PB，連OA、OB，由|PA|=|PB|，知四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA|．所以x₀²+y₀²=2b²，又P在橢圓上，所以a²x₀²+b²y₀²=a²b²，所以．由此知當a²≥2b²＞0時，橢圓C上存在點P₁滿足條件，當a²＜2b²時，橢圓C上不存在滿足條件的點P．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．