Question

設定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+d滿足：①函數f（x）的圖象過點P（3，-6）；②函數f（x）在x₁、x₂處取得極值，且|x₁-x₂|=4；③函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若α，β∈R，求證：|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤

64

3

；
（3）求過點P（3，-6）與函數f（x）的圖象相切的直線方程．

Answer 1

分析：（1）由③知，函數y=f（x）為奇函數，則得f（x）=ax³+cx，即得f′（x）=3ax²+c，令f′（x）=0且由②得到|x1-x2|=2

- c 3a

=4，再由條件①，即可得到關于參數的方程組，解出即得表達式；
（2）由（1）知，若令f′（x）=2x²-8=0得x=±2，進而得到y=f（x）在[-2，2]上單調遞減再由2cosα，2sinβ的范圍，即得證|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤f(-2)-f(2)=

64

3

；
（3）由（1）知，f′（x）=2x²-8，設切點坐標為(x0，

2

3

x03-8x0)，得到切線方程，由于切線過P（3，-6），則可解得x0=3，x0=-

3

2

，進而過點P（3，-6）與函數f（x）的圖象相切的切線方程．

解答：解：（1）∵y=f（x-1）關于（1，0）對稱
∴y=f（x）關于（0，0）對稱
∴函數y=f（x）為奇函數
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax³+cx
f′（x）=3ax²+c，令f′（x）=0得x=±

- c 3a

∴|x1-x2|=2

- c 3a

=4
∴12a=-c①
又∵-6=27a+3c②
∴由①②解得a=

2

3

，c=-8
∴f(x)=

2

3

x3-8x…（5分）
（2）由f′（x）=2x²-8=0得x=±2
∴y=f（x）在[-2，2]上單調遞減
∵-2≤2cosx≤2，-2≤2sinx≤2
∴|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤f(-2)-f(2)=

64

3

…（9分）
（3）∵f′（x）=2x²-8
設切點坐標為(x0，

2

3

x03-8x0)
∴切線方程為y-(

2

3

x03-8x0)=(2x02-8)(x-x0)
∵切線過P（3，-6）
∴-6-(

2

3

x03-8x0)=(2x02-8)(3-x0)
解之得x0=3，x0=-

3

2

∴過點P（3，-6）與函數f（x）的圖象相切的切線方程為：10x-y-36=0或7x+2y-9=0…（14分）

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、切線方程、函數的奇偶性等是解題的關鍵．